Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité
Définition
Transformation linéaire : fonction qui transforme un vecteur en un autre vecteur, tout en respectant les règles de combinaison linéaire
(Fonction - Application, Vecteur, Combinaison linéaire)
Soient \(F_1\) et \(F_2\) deux espaces vectoriels sur \(\Bbb K\)
Une application \(f:E\to F\) est linéaire si...
On note \(f\in\mathcal L(E;F)\)
Remarque : $${{f\in\mathcal L(E;F)}}\implies f({{0_E}})={{0_F}}$$
Pour vérifier que \(f:E\to F\) est une application linéaire, on vérifie que...
Proposition :
Si \(f\in\mathcal L(E,F)\), alors pour toute famille finie \(\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}\) de vecteurs de \(E\) et pour tous réels \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\), on a : $${{f\left(\sum^n_{i=1}\lambda_iu_i\right)}}={{\sum^n_{i=1}\lambda_if(u_i)}}$$
Démonstration : ^[
]
Soient \(E,F,G\) des sous-espaces vectoriels tels que \(f\in\mathcal L(E,F)\) et \(f\in\mathcal L(F,G)\). On a \({{g\circ f}}\in{{\mathcal L(E,G)}}\)
Démonstration :
$${{f\circ g=0}}\iff{{\operatorname{Im} g\subset\ker f}}$$
Continuité
Proposition :
Une fonction \(f\) linéaire est continue si et seulement si $$\exists M\gt 0,\forall x,\quad \lVert f(x)\rVert\leqslant M\lVert x\rVert$$